已知 x = √(10 − 2√5)/4 × c，且 a² + (φx)² = c²，其中 φ 為黃金比例，求以 c 表示的 a。

Step-by-step solution

1. 1

   先把 $x$ 的式子平方。 平方可以立刻拿掉外層的根號：

   $x^{2}=\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}$

2. 2

   用黃金比例的定義性質算 $\varphi^{2}$。 因為 $\varphi$ 滿足 $\varphi^{2}=\varphi+1$，

   $\varphi^{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}+1=\frac{3+\sqrt5}{2}$

   這個捷徑省下了手動展開 $\left(\tfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2}$ 的工夫。

3. 3

   相乘得到 $(\varphi x)^{2}$。

   $(\varphi x)^{2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\cdot\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}=\frac{(3+\sqrt5)(10-2\sqrt5)}{32}c^{2}$

   把乘積展開：$30-6\sqrt5+10\sqrt5-2\cdot5=20+4\sqrt5$，所以

   $(\varphi x)^{2}=\frac{20+4\sqrt5}{32}c^{2}=\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}$

4. 4

   解出 $a^{2}$。 由 $a^{2}=c^{2}-(\varphi x)^{2}$：

   $a^{2}=c^{2}-\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{8-5-\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{3-\sqrt5}{8}c^{2}$

   數值驗證誤差在 $10^{-14}$ 以內 ✓。注意 $3-\sqrt5\approx0.7639>0$，所以實數 $a$ 確實存在。

5. 5

   把巢狀根式脫巢。 開平方根得 $a=\dfrac{\sqrt{3-\sqrt5}}{2\sqrt2}c=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt5}}{4}c$。接著在裡面找完全平方：

   $\left(\sqrt5-1\right)^{2}=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5\ \checkmark$

   所以 $\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1$（取正的，因為 $\sqrt5>1$），於是

   $a=\frac{\sqrt5-1}{4}c$

6. 6

   檢查數值與它的意義。 數值上 $a\approx0.309017c$，與 $\dfrac{\sqrt5-1}{4}=0.30901699\ldots$ 吻合到 $10^{-14}$ ✓。這個數就是 $\tfrac{1}{2\varphi}$，因為 $\varphi^{-1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$——也就是黃金比例的倒數，這正是這些長度會出現在正五邊形幾何裡的原因。