解連不等式 −2 < (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1。

Step-by-step solution

1. 1

   不要兩邊同乘 $x+1$。 它的正負號未知，直接乘就得分情況討論，還有把不等號乘反的風險。改成把連不等式拆成兩個獨立的不等式，並且一開始就記下定義域限制 $x\ne-1$。

2. 2

   把左半邊移項到同一邊來解。

   $\frac{2x-3}{x+1}+2>0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3+2(x+1)}{x+1}>0\;\Longrightarrow\;\frac{4x-1}{x+1}>0$

   臨界點是 $x=\tfrac14$ 與 $x=-1$。取 $x=-2$ 得 $\tfrac{-9}{-1}>0$，取 $x=0$ 得 $-1<0$，取 $x=1$ 得 $\tfrac32>0$，所以左半邊在 $(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)$ 上成立。

3. 3

   右半邊照同樣的辦法做。

   $\frac{2x-3}{x+1}-1\le0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3-(x+1)}{x+1}\le0\;\Longrightarrow\;\frac{x-4}{x+1}\le0$

   臨界點是 $x=4$（可以取到，因為這裡允許取等號）與 $x=-1$（永遠不能取）。取 $x=-2$ 得 $6>0$，取 $x=0$ 得 $-4<0$，取 $x=5$ 得 $\tfrac16>0$，所以這一半在 $(-1,4]$ 上成立。

4. 4

   把兩個解集取交集。 一個數必須同時滿足兩半：

   $\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)\right]\cap(-1,4]=\left(\tfrac14,\,4\right]$

   $(-\infty,-1)$ 這一支被整段抹掉，因為右半邊把 $-1$ 以下的數全排除了。

5. 5

   在邊界附近做數值檢驗。 在 $x=0.26$ 處商是 $-1.968$，滿足 $-2<\cdot\le1$；在 $x=0.2$ 處是 $-2.167$，左邊那個不等號就不成立了。在 $x=4$ 處商恰好是 $1$（含在解裡）；在 $x=4.1$ 處是 $1.0196$，右邊不成立。端點的表現與結論完全一致。

6. 6

   寫出最後的區間。

   $x\in\left(\frac14,\,4\right]$