解不等式 |x + 1| + |x − 1| ≤ 3。

Step-by-step solution

1. 1

   把左邊讀成「總距離」。 由於 $|x+1|=|x-(-1)|$，這個式子就是 $x$ 到 $-1$ 的距離加上 $x$ 到 $1$ 的距離。位在 $-1$ 與 $1$ 之間的任何點，總距離恰好是 $2$（兩個定點之間的間隔）；一旦跑到外面，超出多少就要多付兩倍。所以這個不等式問的是：哪些點的總路程預算不超過 $3$？

2. 2

   在分界點處分段。 絕對值裡的兩個式子分別在 $x=-1$ 與 $x=1$ 處變號，所以要分三段處理：$x\le -1$、$-1\le x\le 1$、$x\ge 1$。

3. 3

   情形 $x\le -1$。 此時 $x+1\le 0$ 且 $x-1<0$，兩個絕對值都要變號：

   $-(x+1)-(x-1)=-2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\ge -\frac32$

   （除以 $-2$ 時不等號方向要反過來。）與 $x\le -1$ 取交集，得 $-\frac32\le x\le -1$。

4. 4

   情形 $-1\le x\le 1$。 現在 $x+1\ge 0$ 而 $x-1\le 0$，於是

   $(x+1)-(x-1)=2\le 3$

   $x$ 被完全消掉了：這一段裡每個 $x$ 都使不等式成立，所以整個區間 $[-1,1]$ 都屬於解集。這正是第 1 步預言的那段「平底」。

5. 5

   情形 $x\ge 1$。 兩個式子都非負：

   $(x+1)+(x-1)=2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\le \frac32$

   與 $x\ge 1$ 取交集，得 $1\le x\le \frac32$。

6. 6

   把三段聯集起來，再驗一下端點。

   $\left[-\tfrac32,-1\right]\cup[-1,1]\cup\left[1,\tfrac32\right]=\left[-\tfrac32,\tfrac32\right]$

   驗算：在 $x=\frac32$ 處左邊等於 $2.5+0.5=3$，所以端點取得到；在 $x=1.6$ 處等於 $2.6+0.6=3.2>3$，理應排除。換個寫法，答案就是 $|x|\le \frac32$。