化簡 E = (x + 2)³ + (x − 2)³ + x³ − 3x(x + 2)(x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   用二項式公式展開兩個立方。 取 $b = 2$ 代入 $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$：

   $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

   $(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

   奇次項維持原本的正負號規律，這正是下一步能塌縮的原因。

2. 2

   把兩個立方相加——偶次項相消。

   $(x+2)^3 + (x-2)^3 = 2x^3 + 24x$

   $\pm 6x^2$ 這兩項相消，$\pm 8$ 這兩個常數也相消，因為它們分別落在偶次與奇次位置且符號相反。

3. 3

   用平方差化簡乘積項。 先處理括號那一對：

   $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

   所以

   $-3x(x+2)(x-2) = -3x(x^2 - 4) = -3x^3 + 12x$

   把 $-3x$ 分配到兩項（包括 $-4$）上，是最容易掉正負號的地方。

4. 4

   全部合併。 把三塊組裝起來：

   $E = (2x^3 + 24x) + x^3 + (-3x^3 + 12x)$

   三次項那一欄：$2x^3 + x^3 - 3x^3 = 0$。一次項那一欄：$24x + 12x = 36x$。已經沒有 $x^2$ 項與常數項了。

5. 5

   寫出並檢驗結果。

   $E = 36x$

   數值檢查，取 $x = 1$：$27 + (-1) + 1 - 3(3)(-1) = 27 - 1 + 1 + 9 = 36 = 36 \cdot 1$。取 $x = 2$：$64 + 0 + 8 - 6(4)(0) = 72 = 36 \cdot 2$。兩者都印證了這個一次式結果。