化簡 (x + 3)² + (x − 2)² − 2(x + 3)(x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   把三項對應到已知的公式。 排列方式是一個平方、加另一個平方、再減去兩底乘積的兩倍。也就是

   $A^2 + B^2 - 2AB = (A-B)^2$

   反過來用：這個式子本來就是某個平方的展開形式。

2. 2

   指定兩個底。 這裡

   $A = x+3, \qquad B = x-2$

   檢查中間項：$2AB = 2(x+3)(x-2)$，正好就是被減掉的那一項，所以公式可以直接套用，不必調整。

3. 3

   計算 A − B，注意雙重負號。

   $A - B = (x+3) - (x-2) = x + 3 - x + 2 = 5$

   $x$ 項相消，因為兩個底的首項係數都是 $1$ —— 這就是答案完全不依賴 $x$ 的原因。

4. 4

   把結果平方。

   $(A-B)^2 = 5^2 = 25$

   所以不論 $x$ 取什麼值，這個式子都是常數 $25$。

5. 5

   硬展開再確認一次。 逐項來：

   $(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) - 2(x^2 + x - 6)$

   $= 2x^2 + 2x + 13 - 2x^2 - 2x + 12 = 25$

   $x^2$ 與 $x$ 兩欄都歸零，證實結果是常數。代 $x = 0$ 也同樣得到 $9 + 4 - 2(-6) = 25$。