解不等式 (|x − 2| − x) / (x² − 4) ≤ 0，並以區間表示法寫出解集合。

Step-by-step solution

1. 1

   先排除使算式沒有意義的點。 分式只有在分母不為零時才有定義。這裡 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，所以

   $x\ne 2\quad\text{且}\quad x\ne -2.$

   不論分子是什麼，這兩點都不可能屬於解集合——$\le$ 這個符號救不了為零的分母。

2. 2

   在絕對值的分界點把它拆開。 $|x-2|$ 在 $x=2$ 處換公式：當 $x\ge 2$ 時等於 $x-2$，當 $x<2$ 時等於 $2-x$。因為不等式在兩側的行為完全不同，要分別解完再取聯集。請用代數方式討論，不要只代幾個數字試，否則測試點之間漏掉的部分會看不出來。

3. 3

   情況一：$x>2$。 此時 $|x-2|=x-2$，分子縮成一個常數：

   $\frac{(x-2)-x}{x^2-4}=\frac{-2}{x^2-4}.$

   當 $x>2$ 時分母 $x^2-4$ 為正，所以對每一個這樣的 $x$，這個分式都是負的。整條射線 $(2,+\infty)$ 都滿足不等式（$x=2$ 本身已在第一步被排除）。

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   情況二：$x<2$。 此時 $|x-2|=2-x$，分子為 $2-2x=2(1-x)$，於是

   $\frac{2(1-x)}{(x-2)(x+2)}\le 0.$

   分子在 $x=1$ 時為零，在 $x<1$ 時為正；因式 $x-2$ 在這個情況裡全程為負；因式 $x+2$ 則在 $x=-2$ 處變號。

5. 5

   列出情況二的符號表。 以臨界值 $-2$ 與 $1$ 把數線切開：

   區間	$2(1-x)$	$x-2$	$x+2$	分式
   $x<-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $-2<x<1$	$+$	$-$	$+$	$-$
   $1<x<2$	$-$	$-$	$+$	$+$

   只有 $-2<x<1$ 會讓分式為負。在 $x=1$ 時分子為 $0$、分母為 $-3\ne 0$，所以分式等於 $0$——而 $0\le 0$ 成立，因此 $x=1$ 要算進去。

6. 6

   把兩種情況取聯集。 情況二的 $(-2,1]$ 與情況一的 $(2,+\infty)$ 合起來：

   $(-2,\,1]\ \cup\ (2,\,+\infty).$

   代幾個數驗算就很清楚：$x=0$ 時值為 $-0.5$（成立），$x=1.5$ 時為 $+0.571$（不成立），$x=3$ 時為 $-0.4$（成立），$x=-2.5$ 時為 $+3.11$（不成立）。