已知 a = (−1 + √71)/2，由 6/a = a/x 解出 x，答案保留根式。

Step-by-step solution

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   先給根式命名，暫時不要代進去。 把 $a=\dfrac{-1+\sqrt{71}}{2}$ 當成單一符號，代數就只做一次、乾乾淨淨，而且到最後只需要平方一個式子。這是「一次麻煩的計算」和「三次麻煩的計算」之間的差別。

2. 2

   把比例式交叉相乘。 由 $\dfrac{6}{a}=\dfrac{a}{x}$（且 $a,x\neq 0$）：

   $6x=a^2\ \Longrightarrow\ x=\frac{a^2}{6}$

   這就是「比例中項」的關係：$a$ 是 $6$ 與 $x$ 的幾何平均。

3. 3

   用 $(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$ 把根式平方。 分子分母分別平方：

   $a^2=\frac{\left(-1+\sqrt{71}\right)^2}{4}=\frac{1-2\sqrt{71}+71}{4}=\frac{72-2\sqrt{71}}{4}$

   注意 $\left(\sqrt{71}\right)^2=71$ 是精確的，這才消掉了一個根號；交叉項 $-2\sqrt{71}$ 則會留下來。

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   再除之前先把分數約掉。 分子提出 2：

   $a^2=\frac{2\left(36-\sqrt{71}\right)}{4}=\frac{36-\sqrt{71}}{2}$

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   除以 6 收尾。

   $x=\frac{a^2}{6}=\frac{36-\sqrt{71}}{2\cdot 6}=\frac{36-\sqrt{71}}{12}$

   就保持這個樣子：把 $\sqrt{71}\approx 8.426$ 代進去會得到 $x\approx 2.298$，那就丟掉了題目要求的精確性。

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   用數值檢驗。 取 $\sqrt{71}=8.42615$：$a=3.71307$，$x=2.29782$。於是 $6/a=1.61591$，$a/x=1.61591$——兩邊吻合，確認了這個根式答案。