解 (2x − 3)² − (x − 1)² = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   認出平方差的結構。 兩項本來就是一次式的完全平方，所以

   $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \qquad \text{其中 } A = 2x - 3, \ B = x - 1$

   完全不必展開，方程式馬上就分解好了。

2. 2

   做出第一個因式，記得把負號分配進去。

   $A - B = (2x - 3) - (x - 1) = 2x - 3 - x + 1 = x - 2$

   減去 $-1$ 會變成 $+1$；漏掉這次變號是常見的錯誤，會得出 $x - 4$。

3. 3

   做出第二個因式。

   $A + B = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$

   於是方程式變成

   $(x - 2)(3x - 4) = 0$

4. 4

   解每一個一次因式。

   $x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2, \qquad 3x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{3}$

5. 5

   兩個都驗算。 在 $x = 2$：$(4-3)^2 - (2-1)^2 = 1 - 1 = 0 \ \checkmark$。在 $x = \tfrac43$：$\left(\tfrac83 - 3\right)^2 - \left(\tfrac43 - 1\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0 \ \checkmark$。從幾何上看，$(2x-3)^2 = (x-1)^2$ 就是 $|2x-3| = |x-1|$，而這兩個根恰好對應 $2x - 3 = x - 1$ 與 $2x - 3 = -(x-1)$ 這兩種情形。