將 x⁴ − x² + 1/4 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $x^2$ 當成運算用的變數。 式子裡只出現偶次方，而且 $x^4=\left(x^2\right)^2$，所以它是 $u=x^2$ 的二次式：

   $u^2-u+\frac14$

2. 2

   在常數是分數的情況下檢查完全平方的形式。 $\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^2$，而中間項必須等於 $-2ab$：

   $-2\cdot u\cdot\frac12=-u$

   正好相符。常數是分數並不構成障礙——這個恆等式在任何體上都成立。

3. 3

   寫成平方再換回原變數。

   $u^2-u+\frac14=\left(u-\frac12\right)^2\quad\Longrightarrow\quad x^4-x^2+\frac14=\left(x^2-\frac12\right)^2$

4. 4

   決定要不要再往下拆。 在實數範圍，你可以把 $x^2-\tfrac12$ 當平方差拆開：

   $\left(x-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\left(x+\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2$

   但在有理數範圍，$\left(x^2-\tfrac12\right)^2$ 就是極限了，因為 $\tfrac12$ 不是有理數的平方。

5. 5

   數值驗算。 代 $x=2$：原式是 $16-4+0.25=12.25$，而 $\left(4-0.5\right)^2=3.5^2=12.25$ $\checkmark$。