在 y = 2x^2 - 21x + 64 與 y = 3x + a 的聯立方程式中（a 為常數），兩圖形恰交於一點 (x, y)，求 x 的值。

Step-by-step solution

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   把「相交」這個條件化成一個方程式。 一個點同時在兩個圖形上，代表兩個 $y$ 的算式相等，所以令它們相等：

   $2x^2-21x+64=3x+a$

   每一個交點都對應這個方程式的一個解，反之亦然。

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   把所有項移到同一邊。 整理後得到標準式的二次方程式：

   $2x^2-21x-3x+64-a=0$

   $2x^2-24x+(64-a)=0$

   未知常數 $a$ 只出現在常數項——看出這一點，這題就變得很短。

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   把「恰有一個交點」翻譯成「恰有一個根」。 二次方程式恰有一個實根，充要條件是判別式為零：

   $\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4(2)(64-a)=0$

   幾何上這句話就是：直線與拋物線相切，而不是割兩點或完全不相交。

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   用一個捷徑：重根一定落在二次式的頂點。 當 $\Delta=0$ 時兩根重合於它們的平均數 $x=-\dfrac{b}{2a}$。這裡 $b=-24$、首項係數為 $2$，所以

   $x=\frac{24}{2\cdot 2}=6$

   注意 $a$ 從頭到尾沒有出現在這個計算裡：它只改變常數項，而常數項不會移動對稱軸。這就是題目沒告訴你 $a$ 卻能問出 $x$ 的原因。

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   如果想明確看到相切，就把 $a$ 求出來。 解 $\Delta=0$：

   $576-8(64-a)=0\;\Longrightarrow\;576-512+8a=0\;\Longrightarrow\;a=-8$

   二次式變成 $2x^2-24x+72=2(x-6)^2=0$，確認重根是 $x=6$。

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   驗證交點只有一個。 取 $x=6$，拋物線給 $2(36)-21(6)+64=72-126+64=10$，直線給 $3(6)-8=10$。兩條曲線都通過 $(6,10)$，而且因為判別式為零，它們不會在其他地方相交：

   $\boxed{x=6}$