把巢狀根式 √(11 − √120) 化簡成兩個平方根的差。

Step-by-step solution

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   先把內層根號整理成 $2\sqrt{k}$ 的樣子。 脫巢公式預期內層根號前面帶一個 $2$，所以先把 $120$ 裡的完全平方因數提出來：

   $\sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=2\sqrt{30}\;\Longrightarrow\;11-\sqrt{120}=11-2\sqrt{30}$

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   套上完全平方的模板。 若 $11-2\sqrt{30}=\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2$，把右邊展開會得到

   $\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2=m+n-2\sqrt{mn}$

   所以把有理部分與無理部分分別對應，需要

   $m+n=11,\qquad mn=30$

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   解這個小小的聯立。 這是兩個數的和與積，所以 $m$ 與 $n$ 是 $t^2-11t+30=0$ 的兩根：

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-120}}{2}=\frac{11\pm 1}{2}\;\Longrightarrow\;t=6\ \text{或}\ 5$

   判別式恰好是完全平方（$1$），這正是這個根式能夠脫巢的充要條件——大多數巢狀根式其實脫不了。

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   開平方根時取對正負號。 由於平方根非負，要選讓差為正的那個排法，也就是 $m=6$、$n=5$：

   $\sqrt{11-\sqrt{120}}=\sqrt{\left(\sqrt6-\sqrt5\right)^2}=\left|\sqrt6-\sqrt5\right|=\sqrt6-\sqrt5$

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   用數值檢驗，順帶記下有理化的倒數。 數值上 $\sqrt{120}=10.9545$，所以 $11-\sqrt{120}=0.0455488$，它的平方根是 $0.213422$；另一邊 $\sqrt6-\sqrt5=2.449490-2.236068=0.213422$ $\checkmark$——兩者完全一致，沒有任何需要解釋的落差。順帶一提一個好用的事實：它的倒數可以漂亮地有理化，因為

   $\frac{1}{\sqrt6-\sqrt5}=\frac{\sqrt6+\sqrt5}{6-5}=\sqrt6+\sqrt5$

   所以這個根式與它的倒數相加恰為 $2\sqrt6$。