將 (x² + xy + y²)² − 4xy(x² + y²) 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   小心地把平方展開。 用 $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$，其中 $a=x^{2}$、$b=xy$、$c=y^{2}$：

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}+2x^{3}y+2x^{2}y^{2}+2xy^{3}=x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}.$

   注意 $2ac=2x^{2}y^{2}$ 與 $b^{2}=x^{2}y^{2}$ 合併，才得到係數 $3$。

2. 2

   減掉第二塊。 因為 $4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=4x^{3}y+4xy^{3}$，

   $x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}-4x^{3}y-4xy^{3}=x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}.$

   只有兩個奇次的交叉項變號；結果對 $x$ 與 $y$ 仍然對稱，係數 $1,-2,3,-2,1$ 也仍然左右對稱。

3. 3

   利用係數對稱的結構。 頭尾係數相等的對稱四次式，很自然會想試

   $\left(x^{2}+axy+y^{2}\right)\left(x^{2}+bxy+y^{2}\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}y+(ab+2)x^{2}y^{2}+(a+b)xy^{3}+y^{4}.$

   這個設法算出來的 $x^{3}y$ 與 $xy^{3}$ 係數相等，而目標式正是如此，所以形狀選對了。

4. 4

   比對係數並求解。 與 $1,-2,3,-2,1$ 比較：

   $a+b=-2,\qquad ab+2=3\ \Rightarrow\ ab=1.$

   和為 $-2$、積為 $1$ 的一對是 $a=b=-1$（判別式 $4-4=0$ 代表兩者重合），所以兩個因式完全一樣：

   $x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

5. 5

   寫出恆等式並檢查。 因此

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}-4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

   因式 $x^{2}-xy+y^{2}$ 對所有 $(x,y)\ne(0,0)$ 的實數都是正的，所以整個式子是完全平方，永遠不會是負的。在 $(x,y)=(2.4,1.1)$ 做數值檢查：兩邊都得到 $18.7489$ ✓，另外三組隨機取的數對也吻合到九位數。