解不等式 (14^x − 7^(x+1) − 2^(x+1) + 14)/(−x² + 4x) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   **把每個指數式改寫成以 $2$ 與 $7$ 為底。**因為 $14=2\cdot 7$，所以 $14^x=2^x7^x$；另外 $7^{x+1}=7\cdot 7^x$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x$。分子成為 $2^x7^x-7\cdot 7^x-2\cdot 2^x+14$。

2. 2

   把四項分組成乘積。$7^x(2^x-7)-2(2^x-7)=(7^x-2)(2^x-7)$。零點是 $7^x=2\Rightarrow x=\log_7 2\approx 0.356$ 與 $2^x=7\Rightarrow x=\log_2 7\approx 2.807$。

3. 3

   把分母因式分解。$-x^2+4x=x(4-x)$，在 $x=0$ 與 $x=4$ 為零，兩者都不在定義域內。把四個臨界值排序得到 $0<\log_7 2<\log_2 7<4$。

4. 4

   分子的正負號。$(7^x-2)$ 在 $x<\log_7 2$ 時為負、之後為正；$(2^x-7)$ 在 $x<\log_2 7$ 時為負、之後為正。所以乘積在 $(-\infty,\log_7 2)$ 為正、在 $(\log_7 2,\log_2 7)$ 為負、在 $(\log_2 7,\infty)$ 為正。

5. 5

   分母的正負號。$x(4-x)$ 是開口向下的拋物線，根為 $0$ 與 $4$：在 $[0,4]$ 之外為負，嚴格介於兩根之間時為正。

6. 6

   合併並挑出商為非負的區間。$(-\infty,0)$：$+/-=-$。$(0,\log_7 2)$：$+/+=+$。$(\log_7 2,\log_2 7)$：$-/+=-$。$(\log_2 7,4)$：$+/+=+$。$(4,\infty)$：$+/-=-$。兩個分子零點要包含進來，因為不等號不嚴格，而分母在那裡不為零。

7. 7

   **在每個被接受的區間各抽驗一點。**在 $x=0.2$ 分子是 $14^{0.2}-7^{1.2}-2^{1.2}+14\approx 3.067$、分母是 $0.76$，商約為 $4.04>0$。在 $x=3$ 分子是 $2744-2401-16+14=341$、分母是 $-9+12=3$，商為 $\tfrac{341}{3}\approx 113.7>0$。