化簡並因式分解 9(m + n)² − (m − n)²。

Step-by-step solution

1. 1

   注意到兩項都是完全平方。 因為 $9=3^2$，

   $9(m+n)^2=\bigl[3(m+n)\bigr]^2=(3m+3n)^2$

   所以整個式子是 $A^2-B^2$，其中 $A=3m+3n$、$B=m-n$。看出這一點就不必先展開兩個平方再重新因式分解。

2. 2

   套用 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$。

   $(3m+3n-(m-n))\bigl(3m+3n+(m-n)\bigr)=(2m+4n)(4m+2n)$

   第一個括號會把 $B$ 的兩個正負號都翻過來：$3n-(-n)=4n$。

3. 3

   把每個括號的數字因數提出來。

   $(2m+4n)(4m+2n)=2(m+2n)\cdot 2(2m+n)=4(m+2n)(2m+n)$

4. 4

   把原式展開來交叉驗證。

   $9\left(m^2+2mn+n^2\right)-\left(m^2-2mn+n^2\right)=9m^2+18mn+9n^2-m^2+2mn-n^2$

   整理後得 $8m^2+20mn+8n^2$。注意中間項是相加（$18mn+2mn$），因為減號把 $-2mn$ 變號了。

5. 5

   確認兩種形式一致。

   $4(m+2n)(2m+n)=4\left(2m^2+5mn+2n^2\right)=8m^2+20mn+8n^2$ ✓

6. 6

   數值檢查。 取 $m=2$、$n=1$：原式為 $9(9)-1=80$；展開式給出 $32+40+8=80$；因式分解後的形式給出 $4(4)(5)=80$。三者一致。