解方程式 2x = 2ˣ。

Step-by-step solution

1. 1

   先試小的數值。 這個方程式把一次項與指數項混在一起，任何代數移項都分不開 $x$。代入整數：

   $x=1:\ 2(1)=2\ \text{且}\ 2^{1}=2\ \checkmark$

   $x=2:\ 2(2)=4\ \text{且}\ 2^{2}=4\ \checkmark$

   兩個都是精確解 ✓。接下來的問題是還有沒有別的解。

2. 2

   改寫成單一個函數。 令

   $f(x)=2^{x}-2x$

   原方程式的解正好就是 $f$ 的零點。我們已經知道 $f(1)=0$ 與 $f(2)=0$。

3. 3

   用凸性把根的個數封頂。 函數 $2^{x}$ 是凸的——它的二階導數 $(\ln2)^{2}2^{x}$ 處處為正——而 $2x$ 是一條直線。一條直線與嚴格凸的曲線最多只能相交兩次。既然兩個交點已經到手，就不可能再有別的了。

4. 4

   取樣確認圖形的走勢。 $f(0)=1-0=1>0$、$f(1.5)=2^{1.5}-3\approx2.828-3=-0.172<0$、$f(3)=8-6=2>0$ ✓。正、負、正這個型態顯示 $f$ 恰好在 $x=1$ 與 $x=2$ 之間掉到零以下，在這段之外都保持為正——剛好兩次變號，因此恰好兩個根。

5. 5

   寫出完整的解。

   $x=1\qquad\text{或}\qquad x=2$

   注意這件事有多特別：$x=1$ 對任何底數 $b$ 都能解 $b^{x}=bx$，因為兩邊都等於 $b$。真正讓底數 $2$ 與眾不同的是第二個交點：$b^{2}=2b$ 逼出 $b=2$，所以沒有別的底數配得到整數的夥伴。舉例來說 $b=3$ 時，第二個根是無理數 $x\approx 0.826018$。