分解 6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12。

Step-by-step solution

1. 1

   把 a 當成第二個變數看待。 這個式子對 $x$ 是二次的，對 $a$ 也是二次的，而且兩者合起來沒有超過 $2$ 次的項，所以它有機會分解成兩個對 $x$ 與 $a$ 都是一次的因式。

2. 2

   先分解二次齊次部分。

   $6x^{2}-7ax+2a^{2}=(3x-2a)(2x-a)$

   （檢查交叉項：$3x\cdot(-a)+(-2a)\cdot 2x=-3ax-4ax=-7ax$。✓）

3. 3

   引入未知常數。 完整的分解式必須是

   $(3x-2a+p)(2x-a+q),\qquad pq=-12$

4. 4

   比對 x 與 a 的係數。 展開後 $x$ 的係數是 $3q+2p$，$a$ 的係數是 $-2q-p$。目標值分別是 $-6$ 與 $+5$：

   $3q+2p=-6,\qquad -2q-p=5$

5. 5

   解出 p 與 q。 由第二式得 $p=-5-2q$；代入第一式：$3q-10-4q=-6$，於是 $-q=4$，$q=-4$、$p=3$。兩者也滿足 $pq=3(-4)=-12$。✓

   $\boxed{(3x-2a+3)(2x-a-4)}$

6. 6

   最後展開檢查一次。 $(3x-2a+3)(2x-a-4)=6x^2-3ax-12x-4ax+2a^2+8a+6x-3a-12=6x^2-7ax+2a^2-6x+5a-12$。✓