解 0.097x² − 2.20765x + 4.37114 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   列出公式解。 這裡 $a=0.097,\qquad b=-2.20765,\qquad c=4.37114,$ 在整數範圍內無法因式分解，所以改用 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.$ 注意 $a$ 很小，這是個警訊：最後除以 $2a=0.194$ 會把每一個捨入誤差放大約 $5$ 倍。

2. 2

   完全照題目寫的數字算判別式。 $b^{2}=(-2.20765)^{2}=4.8737185225,$ $4ac=4(0.097)(4.37114)=1.6960023200,$ $D=4.8737185225-1.6960023200=3.1777162025.$ 這裡保留全部十位小數，後面算出來的根才有六位有效數字可以信。

3. 3

   開平方並判讀根的個數。 $\sqrt{D}=\sqrt{3.1777162025}=1.78261499\ldots$ 因為 $D>0$，有兩個相異實根；拋物線開口向上，與橫軸交於兩點。

4. 4

   除以 $2a$ 收尾。 $x=\frac{2.20765\pm 1.78261499}{0.194}.$ 取正號得 $x=\frac{3.99026499}{0.194}=20.56837624,$ 取負號得 $x=\frac{0.42503501}{0.194}=2.19090211.$

5. 5

   用兩根和與兩根積驗算。 根與係數關係說兩根和必須是 $-b/a=2.20765/0.097=22.7592784$，兩根積必須是 $c/a=4.37114/0.097=45.0632990$。我們算出的值給 $20.56837624+2.19090211=22.75927835$ 以及 $20.56837624\times 2.19090211=45.06329897$，所以兩個根都正確。