把 (1/16)x⁶ + x³ + 4 完全因式分解。

Step-by-step solution

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   **看出隱藏的二次式。**指數是 $6,3,0$ —— 都是 $3$ 的倍數 —— 而且 $x^6=(x^3)^2$。所以這個式子是以 $x^3$ 為單一未知量的二次式：

   $\frac{1}{16}\left(x^3\right)^2+1\cdot x^3+4$

2. 2

   **令 u = x^3 並清掉分數。**取 $u=x^3$ 後式子是 $\tfrac{1}{16}u^2+u+4$。把 $\tfrac{1}{16}$ 提出來 —— 等同於在括號內乘上 $16$ —— 就得到整數係數：

   $\frac{1}{16}\left(u^2+16u+64\right)$

   核對一下：$16\times1=16$、$16\times4=64$ ✓。

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   **認出完全平方。**對 $u^2+16u+64$，注意 $64=8^2$，而 $2\times8=16$ 恰好符合中間項的係數，所以

   $u^2+16u+64=(u+8)^2$

   （等價地，判別式 $16^2-4\cdot64=0$，確認有重根。）

4. 4

   把 u 換回去。

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}\left(x^3+8\right)^2$

5. 5

   **用立方和把因式分解再推進一步。**因為 $x^3+8=x^3+2^3$，恆等式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 給出 $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$，平方之後得到：

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}(x+2)^2\left(x^2-2x+4\right)^2$

   二次式 $x^2-2x+4$ 的判別式是 $4-16=-12<0$，所以它在實數範圍內不可分解，因式分解到此完成。

6. 6

   **數值驗證。**在 $[-4,4]$ 中取 $60$ 個隨機的 $x$ 值，比較原式與兩種因式分解形式，全程都吻合到機器精度 ✓。在 $x=2$ 抽查：原式 $=\tfrac{64}{16}+8+4=16$，而 $\tfrac{1}{16}(8+8)^2=\tfrac{256}{16}=16$ ✓。