化簡 (x + 2y)² − (x − 2y)²。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是平方差的形式。 兩個完全平方用減號連接，一定可以分解成

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   在含兩個變數時，這比直接展開安全得多 —— 展開時 $x^2$ 與 $4y^2$ 各項都有不少掉符號的機會。

2. 2

   替兩個底數命名。

   $A = x + 2y, \qquad B = x - 2y$

   兩個底數只差在 $2y$ 項的正負號，所以下面得到的兩個因式，一個只含 $y$，另一個只含 $x$。

3. 3

   算 A − B。

   $(x + 2y) - (x - 2y) = x + 2y - x + 2y = 4y$

   減去 $-2y$ 會變成加 $+2y$，$y$ 項是加倍而不是抵消。

4. 4

   算 A + B 再把兩個因式相乘。

   $(x + 2y) + (x - 2y) = 2x$

   $(x+2y)^2 - (x-2y)^2 = 4y \cdot 2x = 8xy$

5. 5

   用展開和代數值抽查來驗證。 直接展開：

   $(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 8xy$

   只有交叉項留了下來。取 $x = 3$、$y = 2$：$(3+4)^2 - (3-4)^2 = 49 - 1 = 48$，而 $8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$。