複數 z = a + bi 滿足 (a + bi)^2025 = (a − bi)^2025。這個條件說明 z 具有什麼性質？

Step-by-step solution

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   先把右邊改寫成共軛。 因為 $a-bi=\overline{z}$，而共軛與次方可以交換次序，所以 $\overline{z}^{\,2025}=\overline{z^{2025}}$。於是題設說的其實是

   $z^{2025}=\overline{z^{2025}}.$

   整道題的關鍵就在這一次改寫：這個等式說的並不是 $z$，而是 $w=z^{2025}$ 這個數。

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   利用「$w=\overline{w}$ 刻畫實數」這個事實。 記 $w=u+vi$，方程式 $w=\overline{w}$ 給出 $u+vi=u-vi$，於是 $2vi=0$、$v=0$。所以這個條件恰好就是

   $z^{2025}\in\mathbb{R}.$

   用白話說就是：$a+bi$ 的 2025 次方是一個實數。

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   化成極式，看看哪些 $z$ 合格。 記 $z=re^{i\theta}$，其中 $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。則 $\overline{z}=re^{-i\theta}$，由棣美弗定理

   $z^{2025}=r^{2025}e^{i\,2025\theta},\qquad \overline{z}^{\,2025}=r^{2025}e^{-i\,2025\theta}.$

   如果 $r=0$，也就是 $a=b=0$，那麼兩邊都是 $0$，條件自然成立。

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   對 $z\neq 0$ 解輻角方程式。 約掉 $r^{2025}\neq 0$ 後剩下 $e^{i2025\theta}=e^{-i2025\theta}$，即 $e^{i4050\theta}=1$，於是

   $4050\theta=2k\pi\;\Longrightarrow\;\theta=\frac{k\pi}{2025},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   這也等價於 $\sin(2025\theta)=0$，說的正是 $z^{2025}$ 的虛部為零。注意模長 $r$ 完全不受約束——起作用的只有 $z$ 的方向。

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   從幾何上描述解集合。 滿足條件的 $z$ 構成通過原點的 $2025$ 條直線（每條直線含 $4050$ 個角 $k\pi/2025$ 中的兩個），彼此相隔 $\pi/2025=180^{\circ}/2025$，再加上原點本身。實軸（$k=0$）以及純虛數的情形，都只有在 $\theta$ 是 $\pi/2025$ 的整數倍時才會被包含進來——而 $2025$ 是奇數，$\theta=\pi/2$ 不是這種形式，所以 $z=i$ 並不滿足條件。確實如此：$i^{2025}=i$，而 $(-i)^{2025}=-i$ ✓。