解方程式 (x + 8)(x + 3) = 9。

Step-by-step solution

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   先別急著用零因子性質。 $(x+8)(x+3)=9$ 不代表 $x+8=9$ 或 $x+3=9$。零因子性質只在乘積等於零時才成立，所以要先把方程式整理成標準式。

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   展開並整理。

   $(x+8)(x+3)=x^2+3x+8x+24=x^2+11x+24$

   $x^2+11x+24=9\quad\Longrightarrow\quad x^2+11x+15=0$

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   檢查能不能在整數範圍分解。 要找兩個整數，乘積是 $15$、和是 $11$。$15$ 的因數對只有 $1\cdot 15$（和為 $16$）與 $3\cdot 5$（和為 $8$），都不等於 $11$。特別是看起來很順的 $6$ 和 $5$ 不行，因為 $6\cdot 5=30\neq 15$。所以這個二次式沒有整數分解。

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   用判別式確認，再套公式解。

   $\Delta=11^2-4(1)(15)=121-60=61$

   $61$ 是質數，因此不是完全平方數，這就證明兩根是無理數：

   $x=\frac{-11\pm\sqrt{61}}{2}$

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   求近似值並用數值檢查。 $\sqrt{61}\approx 7.8102$，所以

   $x\approx-1.5949\qquad\text{或}\qquad x\approx-9.4051$

   把 $x\approx-1.5949$ 代回：$(6.4051)(1.4051)\approx 9.000$ $\checkmark$。根與係數關係提供第二重檢查：兩根之和為 $-11$、乘積為 $15$，與係數吻合。