解聯立方程式 3x + 2y = 12 與 x − y = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   挑整理起來最省事的那一式。 第二式裡 $x$ 的係數是 $1$，所以在那裡把變數孤立出來不會產生分數：

   $x - y = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = y + 1$

   若改挑另一式，馬上就得除以 $3$，還要把三分之幾一路帶到底。

2. 2

   代入第一式。 把 $x$ 換成 $y + 1$，就把兩個變數的問題變成一個變數的問題：

   $3(y + 1) + 2y = 12$

3. 3

   展開並合併同類項。

   $3y + 3 + 2y = 12$

   $5y + 3 = 12$

   $5y = 9 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{9}{5}$

   答案不是整數，這很正常：$5$ 不能整除 $9$，而題目也從沒保證解一定是整數。

4. 4

   回代求 x。 用 $x = y + 1$，通分到分母 $5$：

   $x = \frac{9}{5} + 1 = \frac{9}{5} + \frac{5}{5} = \frac{14}{5}$

5. 5

   兩個原式都驗算。 解必須滿足整組方程式，而不只是你最後動過的那一式：

   $3\left(\frac{14}{5}\right) + 2\left(\frac{9}{5}\right) = \frac{42}{5} + \frac{18}{5} = \frac{60}{5} = 12 \ \checkmark$

   $\frac{14}{5} - \frac{9}{5} = \frac{5}{5} = 1 \ \checkmark$

   所以這兩條直線相交於唯一一點 $\left(\tfrac{14}{5}, \tfrac95\right) = (2.8,\, 1.8)$。