把 x³ + x² + 2x + 1 因式分解，或說明它在有理數上無法分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把候選名單縮短。 最高次項係數是 $1$，常數項是 $1$，所以任何有理根 $p/q$ 都滿足 $p\mid 1$ 且 $q\mid 1$。只剩兩個候選活了下來：

   $x=1\quad\text{與}\quad x=-1$

2. 2

   兩個都試一遍。 記 $f(x)=x^3+x^2+2x+1$：

   $f(1)=1+1+2+1=5\neq 0$
   $f(-1)=-1+1-2+1=-1\neq 0$

   兩個都不是根，所以 $f$ 沒有有理係數的一次因式。

3. 3

   說明對三次式而言這樣就夠了。 三次多項式在一個體上的任何分解都必須含一個一次因式（把 $3$ 拆開只有 $1+2$ 與 $1+1+1$ 兩種方式）。既然所有一次有理因式都被排除，$f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上就是不可約的。

4. 4

   再看看為什麼分組分解也不行。 最自然的配對給出

   $x^2(x+1)+1(2x+1)$

   而括號 $(x+1)$ 與 $(2x+1)$ 並不相同，所以提不出共同的二項式。分組分解只有在兩個括號一致時才奏效，例如 $x^3+x^2-x-1$ 就屬於那種情形。

5. 5

   為求完整，把唯一的那個實根數值定位一下。 $f(-0.5)=0.125$、$f(-0.6)=-0.056$，所以實根落在 $x\approx-0.5698$ 附近；另外兩個根是一對共軛複根。它是無理數，因此給不出有理因式 $\checkmark$。