將 x¹⁰⁵ − 1 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   注意這裡指數的奇偶無關緊要。 與次方和不同，次方差 $x^{n}-1$ 對每一個正整數 $n$ 都含有 $x-1$ 這個因式。因式定理一行就說明了原因：代入 $x=1$ 得到 $1^{105}-1=0$ ✓，跟指數是多少無關。

2. 2

   套用次方差的公式。 取 $a=x$、$b=1$、$n=105$：

   $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   另一個因式裡的符號全部是正號——這正是它與次方和的結構差異，次方和的符號會交錯。

3. 3

   寫出因式分解。

   $x^{105}-1=(x-1)\left(x^{104}+x^{103}+x^{102}+\cdots+x+1\right)$

   另一個因式就是有限等比和 $\displaystyle\sum_{k=0}^{104}x^{k}$，這也正是為什麼這個公式等價於 $x\neq1$ 時的等比級數公式 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}=\frac{x^{n}-1}{x-1}$。

4. 4

   用望遠鏡相消與數值兩種方式驗算。 乘開來，$x\cdot\sum x^{k}$ 給出 $1$ 到 $105$ 次，$-1\cdot\sum x^{k}$ 給出 $0$ 到 $104$ 次；$1$ 到 $104$ 的每一次方都相消，只剩下 $x^{105}-1$ ✓。在 $x=2,3,5,-2,-3$ 用精確整數運算比較，全部相符 ✓。

5. 5

   利用 105 的因數再往下拆。 因為 $105=3\times5\times7$，這個式子也可以沿著每一個因數拆開——例如

   $x^{105}-1=\left(x^{5}\right)^{21}-1=\left(x^{5}-1\right)\left(x^{100}+x^{95}+\cdots+1\right)$

   一般而言，只要 $d$ 是 $105$ 的因數，$x^{d}-1$ 就整除 $x^{105}-1$，這些因數是 $1,3,5,7,15,21,35,105$。在 $\mathbb{Q}$ 上的完整分解，正是這八個因數所對應的分圓多項式 $\Phi_{d}(x)$ 的乘積。