a(x − 4)² + b < 10 的解為 k − 8 < x < 2k + 1，求 k。

Step-by-step solution

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   先找出對稱軸。 $a(x-4)^2+b$ 寫的是頂點式：圖形是頂點落在 $x=4$ 的拋物線，並且對鉛直線 $x=4$ 對稱。$a$ 與 $b$ 是多少都不會改變這條線。

2. 2

   說明區間一定以對稱軸為中心。 解集合是有界的（一個區間，而不是兩條射線的聯集），這逼出 $a>0$——開口向上的拋物線只會在單一個區間內落到水平線 $y=10$ 以下。兩個邊界點是 $a(x-4)^2+b=10$ 的解，也就是 $(x-4)^2=\frac{10-b}{a}$，所以它們是 $x=4\pm\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$：與 4 等距。因此解區間的中點恰好是 $4$。

3. 3

   令給定區間的中點等於 4。

   $\frac{(k-8)+(2k+1)}{2}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{3k-7}{2}=4\quad\Rightarrow\quad 3k-7=8$

4. 4

   解出 $k$。

   $3k=15\quad\Rightarrow\quad k=5$

5. 5

   驗證區間並確認它不退化。 取 $k=5$，兩端點是 $k-8=-3$ 與 $2k+1=11$，所以解集合是 $-3<x<11$；中點是 $\frac{-3+11}{2}=4$ ✓，與對稱軸相符。這個區間也確實非空（$-3<11$），合法的解集合本來就該如此。

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   看清楚題目定住了什麼、沒定住什麼。 半寬是 $11-4=7$，所以 $49a+b=10$，即 $b=10-49a$。任何 $a>0$ 搭配對應的 $b$ 都會給出同一個區間——所以即使 $a$ 與 $b$ 各自不唯一，$k=5$ 仍然唯一確定。