解分式方程式 1/(x − 2) + 2/(x + 2) = 3/(x² − 4)，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   把右邊的分母因式分解，並記下要排除的值。 因為 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，三個分母都是由同樣的兩個因式搭出來的，最簡公分母就是 $(x-2)(x+2)$。$x=2$ 與 $x=-2$ 會讓分母為零，所以它們永遠不可能是解——最後算出答案要拿這兩個值核對一下。

2. 2

   把左邊兩個分式合併。 各自改寫成公分母的形式：

   $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)+2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

3. 3

   化簡分子。

   $(x+2)+2(x-2)=x+2+2x-4=3x-2$

   於是方程式變成

   $\frac{3x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{3}{(x-2)(x+2)}$

4. 4

   讓分子相等。 兩邊分母完全相同，而且對任何允許的 $x$ 都不為零，所以兩個分式相等的充要條件就是分子相等：

   $3x-2=3\quad\Rightarrow\quad 3x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}$

5. 5

   拿排除值核對，再代回驗算。 $\frac53\neq 2$，$\frac53\neq -2$，所以這個根是允許的。代回原方程式：左邊是 $\frac{1}{5/3-2}+\frac{2}{5/3+2}=-3+\frac{6}{11}=-\frac{27}{11}$，右邊是 $\frac{3}{25/9-4}=\frac{3}{-11/9}=-\frac{27}{11}$。兩邊相等，所以 $x=\frac53$。