已知 z = 2 + i、u = 3 − 2i、v = −1/2 − (√3)/2 i，求 z² − 3u³ + 2v，並寫成 a + bi 的形式。

Step-by-step solution

1. 1

   **先把 z 平方。**用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 並代入 $i^{2}=-1$：

   $z^{2}=(2+i)^{2}=4+4i+i^{2}=4+4i-1=3+4i.$

2. 2

   **分兩步把 u 立方。**先平方：

   $u^{2}=(3-2i)^{2}=9-12i+4i^{2}=9-12i-4=5-12i.$

   再乘一次 $u$：

   $u^{3}=(5-12i)(3-2i)=15-10i-36i+24i^{2}=15-46i-24=-9-46i.$

   先平方再相乘，比一口氣展開二項式的立方安全得多。

3. 3

   **乘上各自的係數。**把 $-3$ 分配到兩個部分：

   $-3u^{3}=-3(-9-46i)=27+138i.$

   另外

   $2v=2\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}\,i.$

4. 4

   把實部相加。

   $3+27-1=29.$

5. 5

   **把虛部相加。**它們併不成單一個小數，因為其中一項帶根號：

   $4+138-\sqrt{3}=142-\sqrt{3}.$

6. 6

   寫出答案並檢查量級。

   $z^{2}-3u^{3}+2v=29+\left(142-\sqrt{3}\right)i\approx 29+140.268\,i.$

   $u^3$ 這一項果然主導全局：$|u|=\sqrt{13}$，所以 $|u^{3}|=13\sqrt{13}\approx 46.9$，而 $|-3u^3|\approx 140.6$，遠大於 $|z^2|=5$ 或 $|2v|=2$。順帶一提，$v$ 的模為 $1$、輻角為 $-\tfrac{2\pi}{3}$，所以它是一個原始三次單位根。