完全化簡多項式 a^3b + 9a^2b^2 - 4ab^5 與 a^3b - 3a^2b^2 + ab^5 的差，並說明結果有幾項、次數是多少。

Step-by-step solution

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   動手之前先把減法連同括號寫出來。 「$P$ 與 $Q$ 的差」指的是照順序的 $P-Q$，而且第二個多項式一定要加括號：

   $\big(a^3b+9a^2b^2-4ab^5\big)-\big(a^3b-3a^2b^2+ab^5\big)$

   漏掉括號、只把 $Q$ 的第一項減掉，是這類題目最常見的單一錯誤，而且它會同時改變答案的項數和次數。

2. 2

   把負號分配到第二個多項式的每一項。 每個正負號都要翻轉：

   $a^3b+9a^2b^2-4ab^5\;-\;a^3b\;+\;3a^2b^2\;-\;ab^5$

   注意 $-(-3a^2b^2)=+3a^2b^2$、$-(+ab^5)=-ab^5$：三個正負號有兩個改變了，這也是中間那兩項會相加而不是相消的原因。

3. 3

   合併同類項。 只有兩個變數的指數都完全相同時才算「同類項」：

   $a^3b-a^3b=0$

   $9a^2b^2+3a^2b^2=12a^2b^2$

   $-4ab^5-ab^5=-5ab^5$

   所以完全化簡後的差為

   $12a^2b^2-5ab^5$

   兩個多項式的 $a^3b$ 項完全相同，所以互相抵消——這正是答案從三項掉到兩項的原因。

4. 4

   數一數項數：它是二項式。 化簡後恰好剩下兩個不同類的項：$12a^2b^2$ 與 $-5ab^5$。它們不是同類項（$a^2b^2$ 對 $ab^5$），無法再合併，所以結果是二項式。

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   把每一項的指數相加求次數，再取最大值。 多變數的項，次數是各指數的總和，不是最大的那一個指數：

   $\deg\!\left(12a^2b^2\right)=2+2=4,\qquad \deg\!\left(-5ab^5\right)=1+5=6$

   多項式的次數取其中的最大值，所以次數是 $6$。常見的失誤是直接看第一項就下結論，得到錯誤的 $4$；這裡的項並沒有按次數由大到小排列。

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   寫出結論。 完全化簡後的差是 $12a^2b^2-5ab^5$：一個六次的二項式。