解 x²((8.9 − x)² − 64) = (63.9 − 71x)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先別急著展開，把左邊的平方差分解掉。 因為 $64=8^{2}$，$(8.9-x)^{2}-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x),$ 所以左邊是 $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)$。全部乘開只會得到一個一般的四次式，反而把讓這題能徒手做完的結構藏起來。

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   右邊也照樣分解。 注意 $71\times 0.9=63.9$，所以 $63.9-71x=71(0.9-x)\quad\Longrightarrow\quad (63.9-71x)^{2}=71^{2}(0.9-x)^{2}=5041(0.9-x)^{2}.$ 看出 $63.9$ 就是 $71\times 0.9$，是整題最關鍵的觀察。

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   把式子全部移到同一邊，再提出 $(0.9-x)$。 $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)-5041(0.9-x)^{2}=0$ $(0.9-x)\left[x^{2}(16.9-x)-5041(0.9-x)\right]=0$ 四次式現在拆成了一個一次因式和一個三次因式，四次方程式因此變成真的做得完的東西。

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   讀出精確根。 第一個因式給出 $0.9-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.9,$ 代回去也確認無誤：左邊變成 $0.81(64-64)=0$，右邊變成 $(63.9-63.9)^{2}=0$。

5. 5

   解剩下的三次式。 把中括號展開，$16.9x^{2}-x^{3}+5041x-4536.9=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0,$ 或者把小數清掉寫成 $10x^{3}-169x^{2}-50410x+45369=0$。它沒有有理根，數值上三個實根是 $x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$

6. 6

   用根與係數關係檢查三次式的根。 對 $x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9$ 而言，三根之和應為 $16.9$，兩兩乘積之和應為 $-5041$，三根之積應為 $-4536.9$。這三個數字給出 $-63.548577+0.897443+79.551134=16.900000$、兩兩乘積和 $-5041.000000$、乘積 $-4536.899998$——三項全部吻合。要注意 $0.897443$ 與精確根 $0.9$ 有多接近：只差 $0.0026$，所以四捨五入後的解很容易被誤認成精確解。

7. 7

   列出完整的解集。 $x=0.9,\qquad x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$ 四個根都是實數，這與移項後的四次式首項係數為正、且變號四次的情形一致。