解 8x⁴ − 6x³ + 30x² − 18x + 18 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把共同的數字因數提掉。 每個係數都是偶數：

   $8x^{4}-6x^{3}+30x^{2}-18x+18=2\left(4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9\right)$

   因為 $2\neq 0$，原方程式等價於 $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=0$。係數變小之後，下一步輕鬆很多。

2. 2

   確認沒有有理根。 候選是 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 9$、$q\mid 4$。係數的正負分布使得每個正候選代進去都是正值，每個負候選代進去也是正值，所以在有理數上沒有一次因式。接下來只能指望拆成兩個二次式。

3. 3

   設出待定係數。 試

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}+bx+3\right)\left(x^{2}+ex+3\right)$

   常數項取 $3$ 與 $3$，因為它們的乘積必須是 $9$。展開得到

   $4x^{4}+(4e+b)x^{3}+(be+15)x^{2}+3(b+e)x+9$

4. 4

   比對係數，解這個小聯立。 與目標式對照：

   $4e+b=-3,\qquad be+15=15,\qquad 3(b+e)=-9$

   中間那式逼出 $be=0$，所以 $b=0$ 或 $e=0$。取 $e=0$，第三式給出 $b=-3$，第一式也對得上：$4(0)+(-3)=-3$ ✓。因此

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}-3x+3\right)\left(x^{2}+3\right)$

5. 5

   解第一個二次式。 對 $4x^{2}-3x+3=0$，判別式是

   $(-3)^{2}-4(4)(3)=9-48=-39<0$

   所以

   $x=\frac{3\pm i\sqrt{39}}{8}$

6. 6

   解第二個二次式並下結論。 $x^{2}+3=0$ 給出 $x=\pm i\sqrt3$。四個根都不是實數，所以這個四次方程式沒有實數解——這與圖形一致：它整條曲線都在 x 軸上方（最小值為正）。把兩個因式乘回去再乘以 2，可以精確還原 $8x^4-6x^3+30x^2-18x+18$ ✓。