解 0.2 × 0.2 × x⁶ + (1 + 0.2 × 0.2) x⁴ + x² − 4 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先化簡小數係數。 因為 $0.2\times 0.2=0.04$、$1+0.04=1.04$，方程式就是

   $0.04x^{6}+1.04x^{4}+x^{2}-4=0$

2. 2

   同乘 25 清掉小數。 因為 $25\times 0.04=1$、$25\times 1.04=26$：

   $x^{6}+26x^{4}+25x^{2}-100=0$

   改用整數運算，接下來求根時就不會有捨入誤差慢慢累積的風險。

3. 3

   代換 $y=x^{2}$——式子裡只出現偶次方。 因為 $x^{6}=y^{3}$、$x^{4}=y^{2}$：

   $y^{3}+26y^{2}+25y-100=0$

   次數由六降到三，而且關鍵在於 $y=x^{2}\ge 0$，所以只有非負的根 $y$ 才生得出實數 $x$。

4. 4

   先檢查有理根，再走數值路線。 候選值 $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$ 全都不成——例如 $y=1$ 得 $-48$，$y=2$ 得 $+62$。所以 $1$ 與 $2$ 之間的變號就框住了那個唯一的正根，只能用數值方法求出來。

5. 5

   精確求出那個正根。 對 $f(y)=y^{3}+26y^{2}+25y-100$ 從 $y=1.5$ 出發做牛頓迭代，收斂到

   $y=1.5056857750$

   這裡的驗算很重要：$f(1.5056858)=0.0000027$，而附近一個錯誤值如 $y=1.417075$ 會得到 $f=-9.5$，離零差得遠。另外兩個根 $y\approx-2.6747$ 與 $y\approx-24.8310$ 都是負的，生不出實數 $x$。

6. 6

   回到 $x$。 由 $x^{2}=1.5056857750$，

   $x=\pm\sqrt{1.5056857750}=\pm 1.2270638838$

   代回去：$0.04(1.22706)^{6}+1.04(1.22706)^{4}+(1.22706)^{2}-4=-0.000042$ ✓。這個六次式恰有兩個實根、四個複數根。