解不等式 x^2 - 2x + 1 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出完全平方，不要急著套公式。 把 $a^2-2ab+b^2$ 的形式套上 $a=x$、$b=1$，得到

   $x^2-2x+1=(x-1)^2$

   判別式也印證了這一點：$\Delta=4-4=0$，正是重根的特徵。

2. 2

   改寫不等式。

   $(x-1)^2>0$

3. 3

   利用平方永不為負這個事實。 $(x-1)^2\ge 0$ 恆成立，而且等號恰好在 $x-1=0$ 時取到。所以嚴格不等式在除了那一個值以外的地方都成立：

   $x\neq 1$

4. 4

   把答案寫成兩個區間的聯集。

   $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$

   代 $x=1$：$1-2+1=0$，並非 $>0$ $\checkmark$。代 $x=0$：$1>0$ $\checkmark$。代 $x=1.01$：$0.0001>0$ $\checkmark$。注意換個不等號答案就變了：$\ge 0$ 是全體實數，$<0$ 是空集合，$\le 0$ 則只剩 $\{1\}$。