說明為什麼 f(x) = (x² − 4x + 3)/(x² − 9) 的定義域要排除 x = 3，即使 x − 3 可以約掉。

Step-by-step solution

1. 1

   判斷定義域之前，先把分子分母都因式分解。

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   於是

   $f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

   因式 $x-3$ 在上下同時出現 —— 這正是這個情形讓人容易搞混的地方。

2. 2

   定義域由原本的分母決定，而不是約分之後的。 令它等於零：

   $x^2-9=0\quad\Longrightarrow\quad x=3 \text{ 或 } x=-3$

   把 $x=3$ 代進未經改動的原式，得到

   $f(3)=\frac{9-12+3}{9-9}=\frac{0}{0}$

   這不是一個數。除以零毫無意義：不存在 $y$ 使 $0\cdot y=$ 某個給定的非零值；而當分子也是 $0$ 時，任何 $y$ 又都成立，所以沒辦法指定唯一的值。

3. 3

   約分改變的是式子，不是函數本身。 對每一個 $x\neq 3$ 都有

   $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$

   但除非你把 $x\neq 3$ 這個限制一併帶著，否則這個化簡後的式子就是另一個函數。化簡式子永遠不會替定義域添上新的點 —— 它只是在你原有的定義域上換一種寫法。

4. 4

   替兩個被排除的點分類 —— 它們的性質並不一樣。 在 $x=-3$ 處只有分母為零，所以 $|f(x)|\to\infty$：那是一條鉛直漸近線。在 $x=3$ 處分子與分母同時為零，所以圖形上是一個可去不連續點 —— 一個洞。它的高度就是約分後那個式子的極限：

   $\lim_{x\to 3}\frac{x-1}{x+3}=\frac{2}{6}=\frac13$

   數值上，$f(3.00001)\approx 0.333334$，說明圖形不斷逼近 $\tfrac13$ 卻永遠到不了。

5. 5

   寫出定義域。

   $\operatorname{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\neq 3,\ x\neq -3\}=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)$

   點 $(3,\tfrac13)$ 在圖上畫成一個空心圓：曲線可以任意靠近它，但 $x=3$ 並不在定義域裡。