解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.138128 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把尺度分開。 在 $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128=0$ 中，根與係數關係給出根之和 $245.711$ 與根之積 $-0.138128$。很大的和配上接近零的積，意味著一個主導的根加上兩個小根，而標準做法就是在各自的尺度裡把可忽略的項丟掉。

2. 2

   捨去 $x^{3}$ 求出兩個小根。 若 $|x|$ 只有百分之幾，則 $x^{3}$ 的數量級是 $10^{-5}$，與 $245.711x^{2}$ 相比完全可以忽略。丟掉它之後剩下二次式 $245.711x^{2}-2.764156x-0.138128=0,$ 它的判別式是 $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.138128)=143.3988344243,\qquad \sqrt{D}=11.9749252367.$ 再用公式解得到 $x\approx -0.018743095\quad\text{與}\quad x\approx 0.029992718.$

3. 3

   用一步牛頓法修正這兩個根。 被捨去的 $x^{3}$ 項會把每個根推動到第七位小數上，而對完整的三次式套用牛頓法 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，會收斂到 $x=-0.018742545\qquad\text{與}\qquad x=0.029994971.$ 與二次式的估計相比，修正量只有 $5.5\times 10^{-7}$ 與 $2.3\times 10^{-6}$，這正是「捨去 $x^{3}$」所承諾的：被忽略的項數量級是 $10^{-5}$，而 $245.711x^{2}$ 這一項的數量級是 $10^{-1}$。

4. 4

   用根之和求那個大根，而不是去套三次公式。 因為三根之和必須是 $245.711$，$x_{\text{大}}=245.711-\left(-0.018742545+0.029994971\right)=245.699747574.$ 把這個值代進 $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128$，結果在十二位有效數字下回到零。

5. 5

   用兩條根與係數關係驗證。 三個根 $-0.018742545$、$0.029994971$ 與 $245.699747574$ 相加恰為 $245.711000000$，相乘得 $-0.138128$，如所要求地與 $-c$ 相符。這裡真正關鍵的是乘積檢驗：兩個小根就算錯了也可能仍然滿足和的條件，因為大根會自動把差額吸收掉——只有乘積才會讓錯誤現形。

6. 6

   寫出解集合。 $x=-0.018742545,\qquad x=0.029994971,\qquad x=245.699747574.$ 三個根都是實數，這與一條曲線在零的下方穿過 x 軸一次、零的上方穿過一次、又在遠處 $245.7$ 穿過一次的圖形相符。