把 x³ − 5x² + 3x + 2 因式分解，或說明它在有理數範圍內不能分解，並找出它的實根。

Step-by-step solution

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   列出可能的有理根。 由有理根定理，最簡分數形式的有理根 $\tfrac{p}{q}$ 中，$p$ 整除常數項 $2$，$q$ 整除最高次項係數 $1$。於是 $q=\pm1$，候選只有

   $x=\pm1,\ \pm2$

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   把每個候選都試一遍。

   $f(1)=1-5+3+2=1,\qquad f(-1)=-1-5-3+2=-7$

   $f(2)=8-20+6+2=-4,\qquad f(-2)=-8-20-6+2=-32$

   沒有一個為零，所以沒有有理根，也就沒有有理係數的一次因式。三次式要在 $\mathbb{Q}$ 上分解，前提是它有有理根（任何分解都必然含一個一次因式），因此這個三次式在 $\mathbb{Q}$ 上不可分解。

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   別把「不可分解」和「沒有根」混為一談。 實係數三次式必定至少有一個實根，因為它從 $-\infty$ 連續地跑到 $+\infty$。「在有理數範圍內不能分解」對實根一個字都沒說 —— 它只說明這些根裡沒有一個是分數。

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   用變號次數數出實根個數。 在幾個點上求值：$f(-1)=-7$、$f(0)=+2$、$f(1)=+1$、$f(2)=-4$、$f(5)=+17$。在 $-1$ 與 $0$ 之間、$1$ 與 $2$ 之間、$2$ 與 $5$ 之間各變號一次 —— 一共三次變號，所以三個根全是實數，而且都是無理數。

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   把它們數值定位出來。 在 $[-10,10]$ 上取細網格再用二分法：

   $x_1\approx-0.3914,\qquad x_2\approx1.2271,\qquad x_3\approx4.1642$

   所以精確到小數第四位的實數分解是 $(x+0.3914)(x-1.2271)(x-4.1642)$ —— 在 $\mathbb{R}$ 上完全合法，只是在 $\mathbb{Q}$ 上不行。

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   用根與係數關係驗算。 三根之和應為 $-b/a=5$：$-0.3914+1.2271+4.1642=4.9999$ ✓；三根之積應為 $-d/a=-2$：$(-0.3914)(1.2271)(4.1642)=-2.0000$ ✓。兩者都在網格精度內吻合，說明三個實根都找到了，一個也沒漏。