解不等式 (x³ + 1)(x² − 2) < x(x³ + 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有項移到同一邊——千萬不要除以 $x^{3}+1$。 除以一個正負不明的式子，會在數線的一部分上悄悄把不等號翻面。改成相減：

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-2\right)-x\left(x^{3}+1\right)<0$

   再把共同的 $x^{3}+1$ 提出來：

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-x-2\right)<0$

2. 2

   把兩個部分都徹底分解。 一個是立方和，另一個是簡單的三項式：

   $x^{3}+1=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right),\qquad x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$

   於是不等式成為

   $(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)<0$

   因式 $(x+1)$ 出現了兩次，這是整題最關鍵的結構事實。

3. 3

   先把永遠不變號的因式排除掉。 $(x+1)^{2}\ge 0$ 恆成立，而且只有在 $x=-1$ 時取等號。至於 $x^{2}-x+1$，判別式是 $(-1)^{2}-4=-3<0$ 而最高次係數為正，所以它對每個實數 $x$ 都嚴格為正。這兩者都不可能讓乘積變成負的。

4. 4

   化簡成單一個正負條件。 把那兩個非負因式擱在一旁，乘積為負的充要條件就是 $x-2<0$ 而且那兩個非負因式都不等於零：

   $x<2\quad\text{而且}\quad x\ne -1$

   在 $x=-1$ 時整個乘積是 $0$，而 $0<0$ 不成立，所以 $-1$ 必須被挖掉。

5. 5

   寫出解集合。

   $(-\infty,-1)\cup(-1,2)$

   $x=2$ 同樣被排除，因為不等號是嚴格的。

6. 6

   逐區間抽驗。 令 $g(x)$ 為左式減右式。則 $g(-3)=-260<0$、$g(0)=-2<0$（兩者都在解集合裡），而 $g(-1)=0$ 與 $g(2)=0$（被排除），$g(3)=112>0$（在解集合外）。這也顯示圖形在 $x=-1$ 處碰到零卻沒有穿過——這正是偶重根的特徵。