要配出 20 公升濃度 35% 的酒精溶液，20% 與 50% 的酒精溶液各需取幾公升？

Step-by-step solution

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   先把兩個未知數命名。 設 $x$ 為取自 $20\%$ 溶液的公升數，$y$ 為取自 $50\%$ 溶液的公升數。兩個未知數就需要兩條獨立的方程式——一條寫總體積，一條寫純酒精的量。

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   方程式一：總體積。 兩者相加必須等於所需的 $20$ 公升：

   $x+y=20.$

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   方程式二：純酒精守恆。 這是所有混合問題的核心觀念：混合後的酒精量等於各成分帶進來的酒精量總和。目標溶液含純酒精 $0.35\times 20=7$ 公升，而兩種原料分別貢獻 $0.20x$ 與 $0.50y$：

   $0.20x+0.50y=7.$

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   用代入法解聯立方程式。 由第一式得 $x=20-y$，代入第二式：

   $0.20(20-y)+0.50y=7\ \Longrightarrow\ 4+0.30y=7\ \Longrightarrow\ 0.30y=3\ \Longrightarrow\ y=10.$

   再得 $x=20-10=10$。

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   回到題目原文檢查結果。 $20\%$ 溶液提供 $0.20\times 10=2$ 公升酒精，$50\%$ 溶液提供 $0.50\times 10=5$ 公升，合計 $7$ 公升在 $20$ 公升的混合液中，即 $\frac{7}{20}=35\%$。正確。

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   用「中點」直覺再驗證一次。 $35\%$ 恰好落在 $20\%$ 與 $50\%$ 的正中間，所以兩種溶液必然各取一半。若目標濃度不在中點，混合比例就會偏向濃度較接近的那一瓶——在相信代數結果之前，這是抓正負號或算術失誤的好方法。