解方程式 43681x⁶ − 22932.5x⁵ + 3931.3x⁴ − 221.1x³ + 1.945e−7 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先說明那個常數項為什麼不能隨手丟掉。 去掉它以後方程式可分解為 $x^3(43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1)=0$，在 $x=0$ 處有一個三重根。而那個極小的常數 $1.945\times10^{-7}$ 會把這個三重根擾動成三個聚在原點附近的小根，也就是說它掌管著整個小 $x$ 區域的行為，必須留著。

2. 2

   從三次因式裡找出三個較大的根。 當 $x$ 離零夠遠時，常數項可以忽略，根就是

   $43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1=0$

   的根。變號情況：$f(0.14)<0$、$f(0.15)>0$、$f(0.16)<0$、$f(0.23)>0$。在完整的六次式上對每個區間做二分法，得到

   $x=0.14670508,\qquad x=0.15345189,\qquad x=0.22484227$

   前兩個只相差 $0.0067$，所以步長取得太粗的求根程式會漏掉其中一個。

3. 3

   把原點附近那三個小根分辨出來。 當 $|x|\ll 1$ 時，六次式由 $-221.1x^3+1.945\times10^{-7}$ 主導，給出估計 $x^3\approx 8.797\times10^{-10}$，即 $|x|\approx 9.6\times10^{-4}$。在完整多項式上用牛頓法細化，得到實根

   $x=0.000963677$

   另外兩個是它的複立方根夥伴 $x\approx-0.00048175\pm0.00082509\,i$。

4. 4

   核對根的個數。 六次多項式依重數恰好有六個根。我們有四個實根（$0.000963677$、$0.14670508$、$0.15345189$、$0.22484227$）與一對共軛複根——合計六個，所以一個都沒漏。

5. 5

   用殘差檢驗每個實根。 把它們代回去，殘差分別是 $2.6\times10^{-23}$、$1.2\times10^{-16}$、$5.2\times10^{-18}$ 與 $3.4\times10^{-16}$——在機器精度內全是零 ✓。相比之下，常被引用的那一組答案裡含有 $0.0887304343$ 與 $0.2575361876$，它們的殘差分別是 $-0.0156$ 與 $+0.2814$，所以那兩個數並不是這個方程式的根。