求 3x² − 5 除以 x + 1 所得的商與餘數。

Step-by-step solution

1. 1

   做除法之前先補上缺項。 被除式裡沒有 $x$ 項，而長除法要求每一欄都在場：

   $3x^{2}-5=3x^{2}+0x-5.$

   漏掉這個占位項，是餘數算錯的頭號原因。

2. 2

   最高次項相除。

   $\frac{3x^{2}}{x}=3x,$

   所以商的第一項是 $3x$。乘回去再相減：

   $\left(3x^{2}+0x\right)-3x(x+1)=\left(3x^{2}+0x\right)-\left(3x^{2}+3x\right)=-3x.$

3. 3

   落下一項，再做一次。 現在的工作列是 $-3x-5$。再用最高次項相除：

   $\frac{-3x}{x}=-3,$

   所以商裡再添一項 $-3$。乘回去再相減：

   $(-3x-5)-(-3)(x+1)=(-3x-5)-(-3x-3)=-2.$

4. 4

   次數低於除式次數時就停。 剩下的 $-2$ 是 $0$ 次的，低於 $x+1$ 的 $1$ 次，所以除法結束：

   $\text{商}=3x-3,\qquad \text{餘數}=-2.$

5. 5

   乘回去檢驗。

   $(x+1)(3x-3)+(-2)=3x^{2}-3x+3x-3-2=3x^{2}-5\ \checkmark$

6. 6

   再用餘數定理交叉驗證。 除以 $x+1$ 相當於在 $x=-1$ 求值：

   $f(-1)=3(-1)^{2}-5=3-5=-2,$

   與長除法算出的餘數完全一致。