解 2ˣ + x = 5，求 x。

Step-by-step solution

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   先認清這題沒有封閉解。 未知數同時出現在指數上和一次項裡。對數沒辦法把兩者拆開：對 $2^{x}+x$ 取 $\ln$ 並不會化簡，因為和的對數不等於對數的和。所以誠實的做法是走數值。

2. 2

   確認恰好只有一個根，並把它夾住。 設 $f(x)=2^{x}+x-5$。$2^{x}$ 與 $x$ 都嚴格遞增，所以 $f$ 嚴格遞增，最多只會穿過零一次。計算：

   $f(1)=2+1-5=-2<0,\qquad f(2)=4+2-5=1>0$

   連續函數上出現變號，保證 $(1,2)$ 裡有一個根，而單調性保證它是唯一的一個。

3. 3

   用試算把區間縮小。

   $f(1.5)=2^{1.5}+1.5-5\approx2.8284+1.5-5=-0.6716<0$

   $f(1.7)\approx3.2490+1.7-5=-0.0510<0,\qquad f(1.72)\approx3.2943+1.72-5=+0.0143>0$

   所以根落在 $1.70$ 與 $1.72$ 之間，而且已經很靠近 $1.72$。

4. 4

   用二分法逼近到收斂。 反覆把區間 $[1.7,1.72]$ 對半切開，保留變號的那一半，收斂到

   $x\approx1.7156207$

   驗算：$2^{1.7156207}+1.7156207=5.0000000$，誤差在 $10^{-6}$ 以內 ✓。

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   四捨五入要小心——小數第三位會出問題。 取到小數第三位的根是 $x\approx1.716$，不是 $1.717$：把 $1.717$ 代進去得 $2^{1.717}+1.717\approx5.00452$，比 $5$ 多出約 $0.004$。由於在根附近 $f$ 每單位大約爬升 $3.28$，$x$ 上差 $0.001$ 會讓 $f$ 移動約 $0.003$——大到看得出來，所以多留一位數是值得的。