解不等式 (x − 1)(x − 3) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   善用式子本來就是因式乘積的形式。 實數的乘積為正，恰好發生在兩個因式同號的時候，所以不必展開，只要知道每個因式在哪裡變號就夠了。

2. 2

   找出分界點。 令每個因式為零：

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   這兩個值把數線切成三個測試區間：$(-\infty,1)$、$(1,3)$ 與 $(3,\infty)$。

3. 3

   做出符號表。 每個區間各挑一個測試值，記下每個因式的正負：

   區間	$x-1$	$x-3$	乘積
   $(-\infty,1)$，例如 $x=0$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$，例如 $x=2$	$+$	$-$	$-$
   $(3,\infty)$，例如 $x=4$	$+$	$+$	$+$

   這些測試值給出 $(0-1)(0-3)=3$、$(2-1)(2-3)=-1$ 與 $(4-1)(4-3)=3$，印證了最後一欄。

4. 4

   挑出符合不等式的區間。 我們要的是乘積大於零，所以取兩個 $+$ 的列：

   $x<1\quad\text{或}\quad x>3$

5. 5

   決定端點要不要。 不等式是嚴格的（$>0$ 而不是 $\ge 0$），而在 $x=1$ 與 $x=3$ 乘積等於 $0$。所以兩根都要排除，兩段都是開區間：

   $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   用拋物線交叉檢查。 展開得 $y=x^{2}-4x+3$，是一條開口向上、頂點在 $x=2$、$y=-1$ 的拋物線。開口向上的拋物線在兩根之外位於軸的上方 — 正好就是剛才得到的答案。