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Algebra · real student question

解聯立方程式：(1/3)x + (1/3)y = −1；−1/3 + y − (1/2)z = −w；(5/6)z − (1/2)y = w；x = 30 + z。

Question

解出 xx、yy、zz 與 ww：

13x+13y=−1,−13+y−12z=−w,\frac13x+\frac13y=-1,\qquad -\frac13+y-\frac12z=-w,
56z−12y=w,x=30+z.\frac56z-\frac12y=w,\qquad x=30+z.

（注意第二式開頭是常數 −13-\tfrac13，而不是 −13x-\tfrac13x。）

Step-by-step solution

  1. 把第一式去分母，再把第四式併進來。 兩邊乘以 33：

    x+y=−3.x+y=-3.

    代入 x=30+zx=30+z 得 30+z+y=−330+z+y=-3，所以

    y+z=−33⟹y=−33−z.y+z=-33\quad\Longrightarrow\quad y=-33-z.

    這裡照字面讀第二式很重要：它的第一項是常數 −13-\tfrac13，因此 xx 只出現在四式中的兩式裡。

  2. 寫出 ww 的兩個表示式。 第二式兩邊乘以 −1-1，

    w=13−y+12z,w=\frac13-y+\frac12z,

    而第三式直接給出

    w=56z−12y.w=\frac56z-\frac12y.

  3. 兩者劃上等號並去分母。 把兩個右式設為相等，再乘以 66：

    2−6y+3z=5z−3y  ⟹  2−3y−2z=0  ⟹  3y+2z=2.2-6y+3z=5z-3y\;\Longrightarrow\;2-3y-2z=0\;\Longrightarrow\;3y+2z=2.

  4. 代入 y=−33−zy=-33-z 解出 zz。

    3(−33−z)+2z=2  ⟹  −99−z=2  ⟹  z=−101.3(-33-z)+2z=2\;\Longrightarrow\;-99-z=2\;\Longrightarrow\;z=-101.

    接著 y=−33−(−101)=68y=-33-(-101)=68、x=30+z=−71x=30+z=-71。

  5. 求出 ww 並驗證四個式子。

    w=56(−101)−12(68)=−5056−34=−7096.w=\frac56(-101)-\frac12(68)=-\frac{505}{6}-34=-\frac{709}{6}.

    精確驗算：13(−71)+13(68)=−1\tfrac13(-71)+\tfrac13(68)=-1 ✓；−13+68−12(−101)=7096=−w-\tfrac13+68-\tfrac12(-101)=\tfrac{709}{6}=-w ✓；56(−101)−12(68)=−7096=w\tfrac56(-101)-\tfrac12(68)=-\tfrac{709}{6}=w ✓；30+(−101)=−71=x30+(-101)=-71=x ✓。

Answer

x=−71,y=68,z=−101,w=−7096x=-71,\quad y=68,\quad z=-101,\quad w=-\frac{709}{6}

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