一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 滿足 a − 2b + 4c = 0，且有兩個相等的實根。下列結論何者正確：a = b、a = c、b = c，還是 c = 4a？

Step-by-step solution

1. 1

   先把「兩個相等的實根」翻譯成代數條件。 一元二次方程式有重根，當且僅當判別式為零：

   $\Delta=b^2-4ac=0\ \Longrightarrow\ b^2=4ac$

   （這裡隱含 $a\neq 0$，否則它根本不是二次方程式。）

2. 2

   把已知的一次關係式變形，單獨解出 $b$。 由 $a-2b+4c=0$ 得

   $2b=a+4c\ \Longrightarrow\ b=\frac{a+4c}{2}$

   $b$ 前面那個係數 $2$ 本身就是提示：這道題要消掉的正是 $b$。

3. 3

   代入判別式的條件。

   $\left(\frac{a+4c}{2}\right)^2=4ac$

   兩邊同乘 $4$：

   $(a+4c)^2=16ac$

4. 4

   展開，認出一個完全平方。

   $a^2+8ac+16c^2=16ac$

   $a^2-8ac+16c^2=0$

   $(a-4c)^2=0\ \Longrightarrow\ a=4c$

5. 5

   再往前推一步，湊到給出的選項上。 $a=4c$ 並不在選項之列，所以把它代回 $2b=a+4c$：

   $2b=4c+4c=8c\ \Longrightarrow\ b=4c$

   既然 $a=4c$ 且 $b=4c$，就得到 $a=b$ —— 也就是選項 (A)。

6. 6

   用一個具體例子驗證。 取 $c=1$，則 $a=b=4$，方程式是 $4x^2+4x+1=0$。它的判別式為 $4^2-4(4)(1)=16-16=0$ $\checkmark$（重根 $x=-\tfrac12$），而附加條件給出 $4-2(4)+4(1)=4-8+4=0$ $\checkmark$。另外注意，選項 D 的 $c=4a$ 在這裡會讀成 $1=16$，顯然不成立 —— 正確的關係是反過來的 $a=4c$。