解不等式 (4/3)(−x + 2) − (x + 4)/6 > x/2 + 2。

Step-by-step solution

1. 1

   在展開之前先選好公分母。 出現的分母有 $3$、$6$ 與 $2$，最小公倍數是 $6$。先把每一項都改寫成分母為 $6$ 的形式，就不必逐項去分配分數 —— 那裡正是正負號最常出錯的地方：

   $\frac{4}{3}(-x+2)=\frac{8(-x+2)}{6}=\frac{-8x+16}{6}$

2. 2

   把左邊的兩個分數合併。 它們的分母已經都是 $6$：

   $\frac{-8x+16}{6}-\frac{x+4}{6}=\frac{-8x+16-x-4}{6}=\frac{-9x+12}{6}$

   注意那個減號要分配到 $x$ 與 $4$ 兩項上。

3. 3

   兩邊同乘 6。 因為 $6>0$，乘法不會改變不等號的方向：

   $-9x+12>6\left(\frac{x}{2}+2\right)=3x+12$

4. 4

   把含變數的項集中。 兩邊同減 $3x$、同減 $12$：

   $-9x-3x>12-12\quad\Longrightarrow\quad -12x>0$

5. 5

   除以負數，不等號要變號。 兩邊同除以 $-12$ 會讓不等號反向：

   $x<0$

   $\boxed{x<0\quad\text{即 }x\in(-\infty,0)}$

6. 6

   兩側各代一個值檢驗。 取 $x=-1$，左邊是 $\tfrac{4}{3}(3)-\tfrac{3}{6}=4-0.5=3.5$、右邊是 $-0.5+2=1.5$，所以 $3.5>1.5$ 成立。取 $x=1$，左邊是 $\tfrac{4}{3}(1)-\tfrac{5}{6}=\tfrac{8}{6}-\tfrac{5}{6}=0.5$、右邊是 $2.5$，不等式不成立。兩次檢驗都和 $x<0$ 吻合。