解聯立方程式：x + y = z、9.5 − 25.33333x − 55z = 0，以及 3.5 − 3y − 55z = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把後兩式整理成標準形式。 把常數項移到右邊：

   $25.33333x + 55z = 9.5, \qquad 3y + 55z = 3.5$

   現在未知數都在左邊，比照著原本那種正負號混在一起的寫法去消去，要少出很多錯。

2. 2

   用第一式把 z 消掉。 把 $z = x + y$ 分別代入：

   $25.33333x + 55(x+y) = 9.5 \ \Longrightarrow \ 80.33333x + 55y = 9.5$

   $3y + 55(x+y) = 3.5 \ \Longrightarrow \ 55x + 58y = 3.5$

   把 $z = x + y$ 當成代入式、而不是當成第三列去聯立，才能把問題壓成 $2\times 2$ 的。

3. 3

   解這個二元聯立方程式。 由第二式得 $x = \dfrac{3.5 - 58y}{55}$。代入第一式後兩邊同乘 $55$：

   $80.33333(3.5 - 58y) + 3025y = 522.5$

   $281.16666 - 4659.3331y + 3025y = 522.5 \ \Longrightarrow \ -1634.3331y = 241.33334$

4. 4

   先求 y，再求 x，最後求 z。

   $y = \frac{241.33334}{-1634.3331} \approx -0.147665$

   $55x = 3.5 - 58(-0.147665) = 12.06457 \ \Longrightarrow \ x \approx 0.219356$

   $z = x + y \approx 0.219356 - 0.147665 = 0.071691$

   全程保留六位有效數字：係數 $1634.33$ 很大，$y$ 一旦提前四捨五入，誤差會跑到 $x$ 的第四位上。

5. 5

   認出循環小數，給出精確解。 係數 $25.33333$ 幾乎可以肯定就是 $\tfrac{76}{3} = 25.\overline{3}$。改用精確分數重做一遍消去，得到

   $x = \frac{2151}{9806}, \qquad y = -\frac{724}{4903}, \qquad z = \frac{703}{9806}$

   它們的值分別是 $0.2193555$、$-0.1476647$、$0.0716908$ —— 與小數解在六位數字上完全吻合。

6. 6

   把三個式子都驗一遍。 取 $x = 0.219356$、$y = -0.147665$、$z = 0.071691$：$x + y = 0.071691 = z \ \checkmark$；$9.5 - 25.33333(0.219356) - 55(0.071691) = 9.5 - 5.5570 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$；$3.5 - 3(-0.147665) - 55(0.071691) = 3.5 + 0.4430 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$。