多項式 f(x) 除以 2x^2 - 3x + 4 的餘式為 2x + 1，求 [f(x)]^3 除以 2x^2 - 3x + 4 的餘式。

Step-by-step solution

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   先把「除法的事實」寫成一個可以拿來立方的等式。 「餘式為 $2x+1$」意思是存在某個商式 $Q(x)$ 使得

   $f(x)=Q(x)\,(2x^2-3x+4)+(2x+1)$

   題目只給了這一個資訊，所以每一步都必須從它推下去。為了簡潔，記 $D(x)=2x^2-3x+4$。

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   兩邊立方，然後把所有被 $D(x)$ 整除的項全部丟掉。 用二項式定理展開 $\big(QD+(2x+1)\big)^3$ 得

   $Q^3D^3+3Q^2D^2(2x+1)+3QD(2x+1)^2+(2x+1)^3$

   前三項都含有因式 $D(x)$，對餘式毫無貢獻。這就是關鍵觀念：$f^3$ 的餘式等於 $(2x+1)^3$ 的餘式。 你完全不需要知道 $f$ 或 $Q$ 長什麼樣子。

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   把立方展開。

   $(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$

   除式的次數是 $2$，所以我們要找的餘式次數最多是 $1$——長相會是 $Ax+B$。

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   用除式本身把 $x$ 的高次項降次。 不必做長除法，改用商環裡的關係式 $2x^2-3x+4=0$，也就是把

   $x^2=\frac{3x-4}{2}$

   當成改寫規則。於是

   $x^3=x\cdot x^2=\frac{3x^2-4x}{2}=\frac{3\cdot\frac{3x-4}{2}-4x}{2}=\frac{\frac{9x-12-8x}{2}}{2}=\frac{x-12}{4}$

   這個代換技巧比「三次式除以二次式」快得多，而且對 $x$ 的任何次方都適用。

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   代入並合併同類項。

   $8x^3=8\cdot\frac{x-12}{4}=2x-24,\qquad 12x^2=12\cdot\frac{3x-4}{2}=18x-24$

   所以

   $(2x+1)^3\equiv(2x-24)+(18x-24)+6x+1=26x-47$

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   老老實實用長除法驗算一次。 用 $8x^3+12x^2+6x+1$ 除以 $2x^2-3x+4$，得商 $4x+12$，而

   $(2x^2-3x+4)(4x+12)=8x^3+12x^2-20x+48$

   加上我們算出的餘式：$8x^3+12x^2-20x+48+26x-47=8x^3+12x^2+6x+1$，正好就是那個立方式。餘式確認無誤。