已知 A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]]，B 是元素全為 1 的 3×2 矩陣。求 AB，並判斷 AᵀBᵀ 是否有定義。

Step-by-step solution

1. 1

   相乘之前先檢查維度。 $A$ 是 $3\times 3$，$B$ 是 $3\times 2$。內側維度相符（$3=3$），所以 $AB$ 存在，維度取外側，是 $3\times 2$。

2. 2

   善用 B 的結構。 $B$ 的每一行都是 $(1,1,1)^{t}$，所以 $AB$ 的每個元素就是 $A$ 某一列的和，而且 $AB$ 的兩行會完全相同。

3. 3

   算出三個列和。

   $9+1+1=11,\qquad 1+2+1=4,\qquad 1+18+1=20$

   因此

   $AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix}$

4. 4

   (b) 檢查 AᵗBᵗ 的維度。 轉置會把維度對調：$A^{t}$ 是 $3\times 3$，$B^{t}$ 是 $2\times 3$。乘積 $A^{t}B^{t}$ 要求內側維度一致，也就是 $3$（$A^t$ 的行數）$=2$（$B^t$ 的列數）——但它們並不相等。所以

   $A^{t}B^{t}\ \textbf{沒有定義。}$

5. 5

   寫出真正成立的公式。 轉置乘積時順序要顛倒：

   $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$

   這裡 $B^{t}$ 是 $2\times 3$、$A^{t}$ 是 $3\times 3$，所以 $B^{t}A^{t}$ 是 $2\times 3$——正好就是 $(AB)^{t}$ 的維度。

6. 6

   用數值驗證這條公式。

   $B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}11&4&20\\11&4&20\end{pmatrix}=(AB)^{t}$

   它確實是 (a) 小題算出的 $AB$ 的轉置。這同時確認了計算本身與順序顛倒的規則。

   $\boxed{AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix};\quad A^{t}B^{t}\text{ 沒有定義};\quad (AB)^{t}=B^{t}A^{t}}$