展開並化簡 [2x − (根號2)x − 1][2x + (根號2)x − 1]。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每個中括號裡的 x 項併起來。 $2x$ 與 $\sqrt2\,x$ 都是 $x$ 的倍數，所以各自把 $x$ 提出來：

   $\left[(2 - \sqrt2)x - 1\right]\left[(2 + \sqrt2)x - 1\right]$

   這樣寫，兩個中括號的形狀就一目了然，係數 $2 - \sqrt2$ 與 $2 + \sqrt2$ 互為共軛。

2. 2

   用分配律展開。 逐項相乘：

   $= (2-\sqrt2)(2+\sqrt2)x^2 - (2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x + 1$

   中間兩項先分開放著，根號就是在那裡抵消的。

3. 3

   用共軛乘積算 x² 的係數。 因為 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$，

   $(2-\sqrt2)(2+\sqrt2) = 2^2 - \left(\sqrt2\right)^2 = 4 - 2 = 2$

   所以二次項是 $2x^2$——雖然每個因式都是無理的，係數卻是有理數。共軛帶來的好處正在於此。

4. 4

   合併兩個一次項。 根號帶著相反的符號，剛好抵消：

   $-(2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x = \left(-2 + \sqrt2 - 2 - \sqrt2\right)x = -4x$

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   組合結果並檢查合理性。

   $\left[(2-\sqrt2)x - 1\right]\left[(2+\sqrt2)x - 1\right] = 2x^2 - 4x + 1$

   取 $x = 1$ 測試：左邊是 $(1-\sqrt2)(1+\sqrt2) = 1 - 2 = -1$，右邊是 $2 - 4 + 1 = -1$。而 $2x^2 - 4x + 1$ 的根是 $x = \frac{2 \pm \sqrt2}{2}$，正是 $2 \mp \sqrt2$ 的倒數，與因式形式所預測的一致。