解一元二次方程式 −10x² + 5x + 19 = 0。

Step-by-step solution

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   直接按原樣讀出係數。 取 $a = -10$、$b = 5$、$c = 19$，不必先把整式乘以 $-1$——只要把負號帶進 $2a$，一元二次公式本來就處理得了負的首項係數。

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   算出判別式。

   $b^2 - 4ac = 25 - 4(-10)(19) = 25 + 760 = 785$

   它是正的，所以有兩個相異實根。$-4ac$ 裡的雙重負號正是符號錯誤最容易鑽進來的地方：$-4 \times (-10) \times 19$ 是 $+760$，不是 $-760$。

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   檢查根號能不能化簡。 $785 = 5 \times 157$，而 $157$ 是質數。兩個因數都沒有重複，所以 $\sqrt{785}$ 沒有完全平方因數可以提出來，只能保持原樣；數值上 $\sqrt{785} \approx 28.017851$。

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   套用公式並整理正負號。

   $x = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{2(-10)} = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{-20} = \frac{5 \mp \sqrt{785}}{20}$

   既然 $\pm$ 本來就把兩個符號都涵蓋了，這與 $\dfrac{5 \pm \sqrt{785}}{20}$ 是同一組解。

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   算出數值，並用根與係數關係驗證。

   $x_1 = \frac{5 + 28.017851}{20} \approx 1.650893, \qquad x_2 = \frac{5 - 28.017851}{20} \approx -1.150893$

   兩根之和為 $0.500000 = -\tfrac{b}{a} = \tfrac{5}{10}$，兩根之積為 $-1.900000 = \tfrac{c}{a} = \tfrac{19}{-10}$。把 $x_1$ 代回原式，結果為 $0$，誤差在 $4 \times 10^{-15}$ 之內。