解不等式 |a − 1| < |2a|。

Step-by-step solution

1. 1

   先說明為什麼可以平方。 兩邊都是絕對值，因此都非負，而 $t\mapsto t^2$ 在 $[0,\infty)$ 上嚴格遞增。所以平方是等價變形，不只是單向推導 —— 不會冒出增根：

   $(a-1)^2<(2a)^2$

   比起分成四種正負號組合逐一討論，這是這個做法的主要好處。

2. 2

   展開並移到同一邊。

   $a^2-2a+1<4a^2\;\Longrightarrow\;0<3a^2+2a-1$

   所以我們要解的是 $3a^2+2a-1>0$。

3. 3

   把二次式因式分解。 找兩個數，乘積是 $3\cdot(-1)=-3$、和是 $2$，得到 $3$ 與 $-1$：

   $3a^2+3a-a-1=3a(a+1)-1(a+1)=(3a-1)(a+1)$

   所以臨界點是 $a=-1$ 與 $a=\tfrac13$。

4. 4

   用開口向上的拋物線讀出正負。 首項係數 $3$ 是正的，所以 $(3a-1)(a+1)$ 在兩根之外為正、在兩根之間為負：

   $a<-1\qquad\text{或}\qquad a>\frac{1}{3}$

5. 5

   三個區域各取一點測試。 在 $a=-2$：$|-3|=3<|-4|=4$ $\checkmark$。在 $a=0$：$|-1|=1<|0|=0$ 不成立 $\checkmark$（正確地被排除）。在 $a=1$：$|0|=0<|2|=2$ $\checkmark$。端點要排除，因為在那裡兩邊剛好相等。